Optimización para funciones convexas no diferenciables

El objetivo de la presente tesis es determinar la existencia de valores óptimos, para funciones convexas no diferenciables, solo con la condición de continuidad. En el primer captitulo se desarrollo el plantemiento del problema, se planteó la situsión problemática, formulación, justificación, objeivos e hipótesis. Para el segundo capitulo se desarrolló la teoria básica del análisis convexo, para obtener la generalización de la derivada para funciones convexas diferenciables y no diferenciables, esto determinando un hiperplano de soporte en el punto de interés, se introducen algunos conceptos y propiedades de subgradiente y la generalización de la diferenciabilidad. En el tercer capitulo se determinaron las condiciones de existencia de valores óptimos para funciones convexas no diferenciables, para ello se planteó el problema primario, asi como también problema dual. Se determinaron las condiciones de primer orden, segundo orden y una condición de regularidad.Tesi

Algoritmo primal - dual para el problema de programación lineal basado en el método de barrera logarítmica

Presenta un método que sigue la trayectoria central para resolver un problema de programación lineal. Las ideas están basadas en el trabajo realizado por Kojima, Mizuno y Yoshise [15] y Monteiro y Adler [18]. El método permite deducir un algoritmo conocido como Algoritmo Primal-Dual de pasos cortos y alcanza una complejidad de orden de tiempo, debido a que hace uso de una medida de proximidad.Tesi

Introducción a la Programación Convexa Discplinada (DCP). Algunas aplicaciones y su resolución informática

En este trabajo de fin de grado se explica la Programación Convexa Disciplinada, una metodología para trabajar con problemas de optimización convexa. Su objetivo es simplificar el proceso de verificación de la convexidad de un problema, que en muchos casos es un trabajo intratable. Se basa en una librería de funciones, a partir de las cuales se construyen los problemas y un conjunto de normas impuesto sobre estas funciones, que establecen como combinarlas. No se restringe a un tipo determinado de forma estándar como hacen otras metodologías y no pierde generalidad ya que la librería en la que se basa es extensible. Esta metodología se puede llevar a la práctica a través del paquete CVXR de R. Permite formular los problemas de una forma muy natural e intuitiva. En CVXR es posible formular y resolver problemas para los que no existe un código personalizado. Dado un problema, CVXR emplea la programación convexa disciplinada previamente a resolver, para probar que sea convexo y por tanto garantizar que la solución óptima es global.Convex Disciplined Programming is a methodology for working with convex optimization problems. The objective is to simplify the convexity verification, because this is often an intractable task. It is based on a library of functions, that we use for construct the problems, and a set of rules that constitute a set of sufficient conditions for guarantee convexity. DCP is not restricted to a standard way as other methodologies and it does not lose generality since the library is extensible. This methodology can be put into practice through the package CVXR of R. It allows the user to formulate convex optimization problems in a natural and intuitive mathematical syntax. In CVXR it is possible to formulate and solve problems for which there is no personalized code. Given a problem, CVXR applies Disciplined Convex Programming to verify the problem’s convexity and therefore guarantee that the optimal solution is global.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Programación no lineal

El presente trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo abordar el tema sobre “Programación no lineal”, en el cuál, se muestra un análisis detallado sobre programación no lineal, conjuntos convexos, funciones y aplicaciones de determinados algoritmos. El propósito de este proyecto es que cualquier persona con algunos conceptos de programación lineal pueda entender las técnicas desarrolladas de programación no lineal, enfocándose más en la aplicación de determinadas técnicas. Se definirá el modelo matemático de programación no lineal discutiendo las diferentes características de este tipo de problema e incluyendo comparaciones de modelos lineales. Adentrándonos en la programación no lineal se analizará los conjuntos convexos y la funciones convexas junto con determinados teoremas y ejemplos de gran importancia. Dedicaremos una sección a resolver problema de programación no lineal utilizando métodos univariables y multivaribles, además, presentaremos distintas conclusiones y reflexiones de los resultados obtenidos con ayuda del programa informático R y la aplicación Excel. Por último, veremos los fundamentos de optimización restringida desarrollando los teoremas de condiciones necesarias y suficientes de Karush-Kuhn y Tucker incorporando ejemplos prácticos.The objective of this Final Degree project is to address the topic of “Non-linear programming”, in which, a detailed analysis of nonlinear programming, convex sets, functions and applications of certain algorithms is shown. The purpose of this project is that anyone with some concepts of linear programming can understand the developed techniques of nonlinear programming, focusing more on the application of certain techniques. The mathematical model of nonlinear programming will be defined by discussing the different characteristics of this type of problem and including comparisons of linear models. Going deeper into nonlinear programming, convex sets and convex functions will be analyzed along with certain theorems and examples of great importance. We will dedicate a section to solve nonlinear programming problem using univariate and multivariable methods, in addition, we will present different conclusions and reflections of the results obtained with the help of the computer program R and the Excel application. Finally, we will see the fundamentals of constrained optimization by developing the necessary and sufficient conditions theorems of Karush-Kuhn and Tucker incorporating practical examples.Universidad de Sevilla. Grado en Estadístic

Optimización convexa : aplicaciones en operación y dinámica de sistemas de potencia

La optimización convexa tiene una fundamentación teórica sólida y un rango de aplicación amplio. Por tanto, estudiaremos primero el aspecto teórico antes de adentrarnos en sus aplicaciones. En general, los modelos de optimización convexa incluyen a los problemas de PL y algunos de PNL. Sin embargo, otros tipos de problemas pueden ser solucionados mediante las técnicas de optimización convexa usando aproximaciones adecuadas, esto dependerá del tipo de aplicación. El libro esta orientado a estudiantes de Ingeniería Eléctrica/Electrónica que tengan conocimientos básicos en álgebra lineal y cálculo multivariado. Un primer curso de programación lineal podría ser un complemento adecuado aunque no obligatorio, ya que el libro busca ser autocontenido, partiendo de conceptos tan básicos como el criterio de la derivada hasta terminar en metodologías avanzadas como suma de polinomios cuadráticos y programación semidefinida. Cada capítulo incluye demostraciones y ejemplos de aplicación, y finaliza con ejercicios y lecturas complementarias. Hemos optado por un número limitado tanto de ejercicios como de referencias bibliográficas con el objetivo de no saturar al estudiante con contenido innecesario o ejercicios repetitivos. En los primeros capítulos, dichos ejercicios son básicamente geométricos pero más adelante se presentan ejemplos y ejercicios orientados a los sistemas eléctricos. La estructura del libro busca una fundamentación teórica sólida con aplicaciones prácticas en Ingeniería Eléctrica. Se recomienda al estudiante hacer experimentos numéricos en diferentes lenguajes de modelado con el fin de adquirir intuición de los modelos. Citando al matemático Vladímir Arnold, «la matemática es una ciencia aplicada, simplemente es la ciencia en donde los experimentos son más baratos»

Herramientas de optimización convexa y aplicaciones de telecomunicaciones

En las últimas décadas se han producido resultados fundamentales en teoría de optimización convexa y su utilización práctica. La comunidad de ingenieros no sólo se ha beneficiado de estos avances al encontrar aplicaciones prácticas, sino que también ha contribuido en agilizar el desarrollo matemático de la teoría y de algoritmos eficientes. Esto se ha traducido en la creación y comercialización de una gran cantidad de herramientas que permiten resolver problemas de grandes dimensiones con mucha precisión y rapidez. Frente a toda esta diversidad de opciones a la hora de escoger una u otra herramienta, este trabajo ofrece un recorrido por las técnicas más utilizadas y los programas que permiten la resolución de este tipo de problemas. El motivo de estudiar en particular la optimización convexa es la altísima eficiencia que podemos obtener en su resolución, en comparación con problemas no convexos. Tradicionalmente se hacía una distinción entre problemas lineales y no lineales para delimitar la condición de fácil o difícil de resolver, pero en realidad esta frontera se encuentra en su naturaleza convexa o no convexa. Cuando un problema es convexo, se puede resolver de forma óptima bien con una solución cerrada por medio de las condiciones derivadas de la dualidad de Lagrange, o bien de forma numérica con algoritmos muy eficientes. Como consecuencia, una vez que hemos expresado un problema en forma convexa podemos decir que está resuelto. El principal objetivo de este trabajo es la exposición de los recursos de optimización convexa más importantes que puede encontrar un ingeniero de telecomunicación para resolver diferentes problemas en su ámbito de trabajo. Estos recursos se materializan en los algoritmos existentes y los programas disponibles en el mercado que los utilizan. Para conocerlos en detalle comenzamos con los fundamentos teóricos básicos que se presentan en la primera parte de esta memoria, y a continuación se revisan los programas más relevantes que un usuario puede adquirir; por último se estudian dos casos de aplicación en los que se ponen en práctica todos principios aprendidos hasta aquí. La primera parte de este trabajo contiene el marco teórico que nos permite transformar el planteamiento de diferentes problemas para desvelar su carácter convexo de forma que lo podamos resolver con los algoritmos y programas disponibles. Por desgracia, la mayoría de los problemas de ingeniería no son directamente convexos tal como se formulan inicialmente, aunque muchos de ellos contienen una convexidad oculta que tendremos que descubrir para ser capaces de utilizar toda la maquinaria disponible de optimización convexa. En la segunda parte se examinan los principales programas de optimización convexa. En ella se ponen de manifiesto las características principales de un conjunto de herramientas seleccionadas por su relevancia en el mercado. Analizaremos factores como su complejidad o facilidad de uso, los algoritmos y técnicas que implementan, o la forma en que se pueden adquirir. Dejaremos patente la diferencia entre herramientas de resolución o solvers y de modelado, y veremos cómo las primeras forman parte del núcleo de las segundas, siendo los solvers los encargados de proporcionar la ejecución de los algoritmos de minimización, mientras que los sistemas de modelado sirven como lenguaje con el que el usuario describe las funciones y restricciones del problema en un formato matemático más intuitivo que en los anteriores. En la tercera parte veremos dos ejemplos de aplicación en telecomunicaciones en los que se utilizan herramientas de optimización convexa, y que nos sirven para consolidar las ideas y los datos de los capítulos anteriores. El primero es un conformador de haz robusto en el que se tienen en cuenta las variaciones del vector de apuntamiento para que estas no perjudiquen la calidad del receptor. En este ejemplo se consigue replicar los resultados de la bibliografía consultada y poner en relieve algunos aspectos de la naturaleza del problema que no había detectado antes de la implementación, por ejemplo la importancia del tamaño asignado a la región de incertidumbre y los valores que hacen inviable el problema. Los resultados muestran una comparativa en el comportamiento de distintas herramientas de optimización y en especial se comprueba la gran ventaja en rendimiento que ofrecen los programas de optimización convexa con respecto a los que están orientados a optimización global (no convexa). La segunda aplicación consiste en optimizar el diseño del precodificador lineal en sistemas MIMO-OFDM en función de dos criterios: minimizar el error cuadrático medio de los flujos de datos transmitidos, o maximizar la información mutua del sistema. En ambos casos se aplica una restricción de control de potencia para reducir las variaciones de nivel de la señal OFDM. Se implementan dos modelos de optimización: un esquema no cooperativo en el que cada portadora se considera como un canal independiente, y un esquema cooperativo en el que el conjunto completo de portadoras constituye un solo canal que agrupa a todos y la optimización permite la distribución óptima de información entre distintas portadoras. En este segundo ejemplo únicamente he utilizado herramientas de optimización convexa debido a la diferencia de fiabilidad demostrada en el primer caso práctico. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Several paramount results in convex optimization theory and its practical use have taken place over the last few decades. The engineering community not only has benefited from these recent advances by finding practical applications, but has also contributed to speeding up the mathematical development of both the theory and efficient algorithms. This has resulted in the creation and marketing of a great deal of tools that allow us to solve high dimensional problems very fast and accurately. Given all this diversity of options when it comes to choosing one tool or another, this work presents a survey of the most frequently used techniques and the programs that make possible the resolution of this kind of problems. The reason of focusing on convex optimization in particular is the extremely high solving efficiency that can be achieved, compared to non convex problems. Traditionaly, a distinction between linear and non linear problems used to be made to mark the difference between easy and hard to solve problems, but the actual watershed is their convexity or non convexity. When a problem is found to be convex, it can be efficiently solved either with a closed solution by means of Lagrange duality and its derivative conditions, or numerically with very powerful algorithms. As a consequence, once a problem is stated in convex form we can consider it solved. The main goal of this work is to present the most important resources in convex optimization that a telecommunication engineer may use to solve different problems within his/her professional field. These resources arise as existing algorithms and available programs in the market that use them. In order to get acquainted with them, we start with the basic theoretical foundations which are introduced in the first part of this report, and afterwards, the most relevant programs a user can get are examined; finally, two application cases are studied where all the principles that we have learned so far are put into practice. The first part of this work comprises the theoretical framework that allows us to transform the approach to different problems in order to reveal their convexity and thus to be able to solve them with available algorithms and programs. Unfortunately, most engineering problems are not convex as they are initially stated; although many of them keep a hidden convexity that we will have to discover if we want to be able to use all the available convex optimization machinery. In the second part, the main convex optimization software packages are examined. The foremost features of a set of tools selected by their relevance in the market are highlighted therein. We will analyze factors like their complexity or simplicity in use, implemented algorithms and techniques, or the way they can be acquired. We will shed some light on the difference between solvers and modeling systems, and we will see how the former is part of the core of the latter, where solvers are in charge of providing the execution of the minimization algorithms, whereas modeling systems serve as a descriptive languaje for the user to formulate the problem functions and constraints in a more intuitive format than the one used by the solvers. In the third part we will see two application cases in telecommunications where convex optimization tools are used. These will consolidate all the ideas and data from the previous chapters. The first one is a robust beamformer where variations in the steering vector are taken into account in order to keep them from damaging the receiver’s quality. In this example the results of the bibliography I looked up are successfully replicated, and several features of the underlying nature of the problem which I had not detected before the implementation are highlighted, for instance, the importance of the size assigned to the uncertainty region, and the values that make the problem unfeasible. The results show a comparative in the behaviour of different optimization tools, and the big advantage in throughput offered by convex optimization packages with respect to those oriented to (nonconvex) global optimization is specially noticed. The second application consists on the design optimization of a linear precoder in MIMO-OFDM systems as a function of two criteria: minimizing the mean square error of the transmitted data streams, or maximizing the system mutual information. Either way, a power control constraint is applied to reduce the OFDM signal level variations. Two optimization models are implemented: a non-cooperative scheme where each carrier is considered as an independent channel, and a cooperative strategy where the full set of carriers is considered as a single channel spanning all of them, and the optimization allows the optimal distribution of information among different carriers. In this second example I have only used convex optimization tools due to the difference in reliability shown in the first practical case.Ingeniería de Telecomunicació

Problema de optimización mediante software

El estudio y el desarrollo en la Investigación Operativa han permitido un gran avance en el mundo empresarial, ya que su aplicación facilita la toma de decisiones, considerando la disponibilidad limitada de recursos. Este desarrollo ha tenido un gran auge gracias a los avances tecnológicos, ya que permite llevar a cabo su resolución más rápida y segura. Además de procesar una gran cantidad de datos, de forma que de otra manera no fuese posible, o fuese muy tedioso su desarrollo y la obtención de la solución. En este Trabajo Fin de Grado (TFG) pretendo analizar distintos problemas de optimización matemática con la utilización de distintos software aunque me centrare más en el paquete R.The study and development in Operations Research have allowed a great advance in the business world, since its application facilitates the decision making, considering the limited availability of resources. This development has had a great boom thanks to the technological advances, since it allows us to carry out its resolution faster and more secure. In addition, to process a large amount of data, otherwise it would not be possible, or it would be very tedious to get and obtain the solution. In this Final Degree Project (TFG) I intend to analyze different mathematical optimization problems with the use of different sodtware, although I will focus more on the R Package.Universidad de Sevilla. Grado en Estadístic

Método del punto proximal y su aplicación a modelos económicos

Analiza la convergencia de un método de optimización denominado método de punto proximal para resolver el problema dado para el caso no convexo y aplica los resultados de convergencia a la solución de problemas económicos en particular de microeconomía. El método considera un punto inicial x0 ∈ Rn++ (arbitrario) y genera una sucesión de puntos {xk} dada por: 0 ∈ ∂̂(f(·) + (λk /2)d(. , xk−1))(xk), donde ∂̂ es el subdiferencial de Fréchet, donde d es un tipo de distancia que asegura que las iteraciones se mantengan el interior de las restricciones y λk es un parámetro positivo para cada k, donde λk cumple una función de regularización, esto es, no puede ser tan pequeño ni tan grande. Con respecto a la aplicación del método a la microeconomía, presentamos un ejemplo cuando la función objetivo es una función de producción e implementamos el algoritmo para resolver el problema. También presentamos adicionalmente algunos experimentos numéricos de la implementación del algoritmo que dan confiabilidad a los resultados teóricos

Estudio Comparativo del Método Simplex y el Método de Puntos Interiores Primal-Dual para Programación Lineal

En este trabajo hemos resaltado algunas de las desventajas computacionales más importantes del Método Simplex, las cuales justamente motivaron la creación de los métodos de puntos interiores para programación lineal. Analizamos la construcción del Método de Puntos Interiores Primal-Dual, donde presentamos los principales fundamentos matemáticos que soportan el método. También hemos incluido los detalles que hacen posible llevar este método al computador, los programas que ejecutan el algoritmo respectivo fueron realizados usando el MatLab, debido a que MatLab es adecuado para trabajar con programas relacionados al álgebra lineal y métodos numéricos en general. El método fue comparado con el clásico Método Simplex, donde se analizó su desempeño computacional tanto en teoría como en la práctica. Además, revisamos algunos aspectos relacionados al análisis de sensibilidad y su abordaje mediante estos métodos. Finalmente, los resultados computacionales fueron incluidos en este trabajo